Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，設函數，若對任意的恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）的最小值為-3.

【解析】

（1）由，可得，根據導數與單調性的關系，即判斷單調性；

（2）由，因為對任意的恒成立，對任意的恒成立，構造函數，可得，由，對進行分析，利用函數零點存在定理，可知一定存在唯一的，使得，進而求出的單調性，由此即可求出結果．

（1）由題意，函數，可得，

當時，；

當時，，

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為

（2）由，

因為對任意的恒成立，

即對任意的恒成立，

令，則，

因為，所以.

又由函數，可得，所以函數單調遞增，

因為，，

所以一定存在唯一的，使得，即，即，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

所以.

因為，所以的最小值為-3.