Question

【題目】雙曲線經過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于、.

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過原點，為雙曲線上異于、的一點，且直線、的斜率為、，證明：為定值；

（3）若過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的點，使得直線繞點無論怎樣轉動，都有成立？若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）證明見解析

（3）存在，.

【解析】

（1）根據雙曲線所過的點和漸近線的夾角可得關于的方程組，解該方程組后可得雙曲線的標準方程.

（2）設，，，用三點的坐標表示，再利用點滿足的方程化簡前者可得所求的定值.

（3）設直線為，，，根據可得恒等式，聯立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得，從而得到所求的定點.

（1）雙曲線的漸近線方程為，

因為兩條漸近線的夾角為，故漸近線的傾斜角為或，

所以或.

又，故 或（無解），故，

所以雙曲線.

（2）設，，，

故，，所以，

因為，所以即，

所以為定值.

（3）雙曲線的右焦點為，

當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，設，，

因為，所以，

整理得到①，

由可以得到，

因為直線與雙曲線有兩個不同的交點，

故且，

所以.

由題設有①對任意的總成立，

因，

所以①可轉化為，

整理得到對任意的總成立，

故，故即所求的定點的坐標為.

當直線的斜率不存在時，則，此時或，

此時.

綜上，定點的坐標為.