Question

【題目】已知直線y＝2x﹣m與拋物線C：y2＝2px（p＞0）交于點A，B．

（1）m＝p且|AB|＝5，求拋物線C的方程；

（2）若m＝4p，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x；（2）見解析

【解析】

(1)根據韋達定理和弦長公式列方程可得;

(2)聯立直線與拋物線,根據韋達定理以及斜率公式可證結論。

（1）直線y＝2x﹣p與拋物線C：y2＝2px（p＞0）聯立，可得4x2﹣6p+p2＝0，設A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2，

|AB|5，

解得p＝2，即拋物線的方程為y2＝4x；

（2）證明：由y＝2x﹣4p聯立拋物線方程y2＝2px，可得2x2﹣9px+8p2＝0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2p，x1x2＝4p2，

即有y1y2（）＝﹣2p4p2，即有x1x2+y1y2＝0，

可得OA⊥OB．