Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形是等腰梯形，，．在梯形中，，且，，平面．

（Ⅰ）求證：．

（II）求四棱錐與三棱錐體積的比值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，由已知結合余弦定理求解AC，再由勾股定理得到BC⊥AC．由EC⊥平面ABCD，得EC⊥BC，再由線面垂直的判定可得BC⊥平面ACEF，進一步得到BC⊥AF；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠CAB＝30°，結合四邊形ABCD為等腰梯形，且∠ABC＝60°，得到∠CAD＝∠ACD＝30°，求得點D到平面ACEF距離為，分別求出四棱錐D﹣ACFE與三棱錐A﹣BCF的體積，則答案可求．

（I）證明：在中，

所以，由勾股定理知：，故

又因為平面，平面，所以，而，所以平面，又平面，所以

（II）由（I）知：在中，，又∵四邊形為等腰梯形，且，則

作因為平面，平面，

則平面平面，

又平面平面，平面，故平面

又，則，

又，

∴，

綜上所述：四棱錐與三棱錐體積比值是