Question

【題目】已知函數f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）當a＞1時，求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）若函數y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）若存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，試求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=ax+x2﹣xlna，∴f′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，
由于a＞1，故當x∈（0，+∞）時，lna＞0，ax﹣1＞0，所以f′（x）＞0，
故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）當a＞0，a≠1時，因為f′（0）=0，且f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
故f′（x）=0有唯一解x=0．
所以x，f′（x），f（x）的變化情況如下表所示：

又函數y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，
即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的兩條直線y=t±1共有三個交點．
不妨取a＞1，y=f（x）在（﹣∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，極小值f（0）=1也是最小值，
當x→±∞時，f（x）→+∞．
∵t﹣1＜t+1，∴f（x）=t+1有兩個根，f（x）=t﹣1只有一個根．
∴t﹣1=fmin（x）=f（0）=1，∴t=2．
（Ⅲ）因為存在x1 ， x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，
所以當x∈[﹣1，1]時，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，
由（Ⅱ）知，f（x）在[﹣1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
所以當x∈[﹣1，1]時，（f（x））min=f（0）=1，
（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，
而 ，
記 ，因為 （當t=1時取等號），
所以 在t∈（0，+∞）上單調遞增，而g（1）=0，
所以當t＞1時，g（t）＞0；當0＜t＜1時，g（t）＜0，
也就是當a＞1時，f（1）＞f（﹣1），當0＜a＜1時，f（1）＜f（﹣1）．
綜合可得，①當a＞1時，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1，可得a﹣lna≥e﹣1，求得a≥e．
②當0＜a＜1時，由 ，
綜上知，所求a的取值范圍為（0， ]∪[e，+∞）
【解析】（Ⅰ）證明a＞1時函數的導數大于0．（Ⅱ）先判斷函數f（x）的極小值，再由y=|f（x）﹣t|﹣1有三個零點，所以方程f（x）=t±1有三個根，根據t﹣1應是f（x）的極小值，解出t．（Ⅲ）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由單調性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的單調性，判斷f（1）與f（﹣1）的大小關系，再由f（x）的最大值減去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．