Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數的單調區間；

（2）若關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間為，單調遞減區間為；(2) .

【解析】試題分析：

(1)結合函數的解析式可得， ，結合導函數與原函數的單調性的關系可得函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

(2)原問題等價于方程有實數根，構造函數，利用導函數研究函數存在零點的充要條件可得：當時，方程有實數根.

試題解析：

（1）依題意，得， .

令，即，解得；

令，即，解得，

故函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

（2）由題得， .

依題意，方程有實數根，

即函數存在零點，

又，

令，得.

當時， ，即函數在區間上單調遞減，

而， ，

所以函數存在零點；

當時， ， 隨的變化情況如表：

		極小值

所以為函數的極小值，也是最小值.

當，即時，函數沒有零點；

當，即時，注意到， ，

所以函數存在零點.

綜上所述，當時，方程有實數根.