Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）求導函數，可得切線的斜率，求出切點坐標，利用點斜式可得切線方程；
（Ⅱ）先求出函數的導數，通過討論a的取值范圍求出函數的單調區間．

解答： 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=

1

2

x²-2lnx+x，f（1）=

1

2

，
∵f′（x）=x-

2

x

，
∴切線的斜率k=f′（1）=-1，
∴切線方程為：y-

1

2

=-（x-1），
即2x+2y-3=0；
（Ⅱ）由題意知：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

ax2-2

x

（x＞0），
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）的單調遞減區間為：（0，+∞），
a＞0時，f（x）在（0，

2 a

）遞減，在（

2 a

，+∞）遞增．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，正確求導，合理分類是關鍵．