Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(x2－ax)ex(x∈R)，a為實(shí)數(shù)．

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)若f(x)在閉區(qū)間[－1,1]上為減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(0，＋∞)和(－∞，－2)； （2） .

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(2)先求導(dǎo)得f′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex，記g(x)＝x2＋(2－a)x－a.依題意知，x∈[－1,1]時(shí)，g(x)≤0恒成立．

數(shù)形結(jié)合分析得到，解不等式即得a的取值范圍.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2ex，f′(x)＝2xex＋x2ex＝(x2＋2x)ex.

由f′(x)>0x>0或x<－2.

故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)和(－∞，－2)．

(2)由f(x)＝(x2－ax)ex，x∈Rf′(x)＝(2x－a)ex＋(x2－ax)ex＝[x2＋(2－a)x－a]ex.

記g(x)＝x2＋(2－a)x－a.

依題意知，x∈[－1,1]時(shí)，g(x)≤0恒成立．

結(jié)合g(x)的圖像特征得，

即a≥，所以a的取值范圍是 .