Question

【題目】已知中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，拋物線的頂點為原點．

求橢圓和拋物線的方程；

設點P為拋物線準線上的任意一點，過點P作拋物線的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．

設直線PA，PB的斜率分別為，，求證：為定值；

若直線AB交橢圓于C，D兩點，，分別是，的面積，試問：是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）為，為．（2）證明見解析；有最小值，最小值．

【解析】

由已知列出方程組，解方程組即可求出橢圓和拋物線的方程；設，過點P與拋物線相切的直線方程為，與拋物線方程聯立可得，由及其根與系數的關系即可證明為定值．由題得當直線AB的斜率存在時，可證當直線AB的斜率不存在時，可得，由此能求出的最小值．

解：設橢圓和拋物線的方程分別為和，，

中心在原點的橢圓和拋物線有相同的焦點，橢圓過點，

拋物線的頂點為原點．

，解得，，，

橢圓的方程為，拋物線的方程為．

證明：設，過點P與拋物線相切的直線方程為，

由，消去x得，

由得，，即，

．

設，

由得，，則，，

直線BA的方程為，即，

直線AB過定點．

以A為切點的切線方程為，即，

同理以B為切點的切線方程為，

兩條切線均過點，

，

則切點弦AB的方程為，即直線AB過定點

設P到直線AB的距離為d，

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為，

設，，，，

由，得，時恒成立．

．

由，得，恒成立．

．

．

當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為，

此時，，，

．

綜上，有最小值．