Question

【題目】已知函數在上有最大值和最小值，設（為自然對數的底數）.

（1）求的值；

（2）若不等式在上有解，求實數的取值范圍；

（3）若方程有三個不同的實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）.

【解析】

試題(1)配方可得,當時,由函數的單調性可得和的方程組,解方程組可得,當時,,無最大值和最小值,不合題意,故;(2)由(1)得,問題等價于在上有解,求二次函數區間的最值可得;(3)原方程可化為,令，則，由題意知有兩個不同的實數解，且其中,解不等式可得.

試題解析：（1），當時，在上是增函數，∴即解得;當時，，無最大值和最小值；當時，在上是減函數，∴即解得∵，∴舍去，綜上，的值分別為.

（2）由（1）知，∴在上有解等價于在上有解，即在上有解，令，則，∵，∴，記，∵，∴，∴的取值范圍為。

（3）原方程可化為，令，則，由題意知有兩個不同的實數解，且其中，記，則得.