Question

【題目】已知在四棱錐中， 為正三角形， ，底面為平行四邊形，平面平面，點是側棱的中點，平面與棱交于點.

(1)求證： ；

(2)若，求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由底面是平行四邊形，利用線面平行的判定定理得面，在利用線面平行的性質定理，即可證得．

(2)建立空間直角坐標系，求得平面和平面的一個法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求解平面和平面的二面角的余弦值．

試題解析：

（1）∵底面是平行四邊形，∴，

又∵面面， 面，

又∵四點共面，且平面平面,

.

(2)取中點，連接側面為正三角形，故，又平面平面，且平面平面,平面, 在平行四邊形中， ，故為菱形， 且是中點， .

如圖，建立空間直角坐標系,

因為,則,

又,點是棱中點， 點是棱中點， ,

，設平面的法向量為,

則有, 不妨令,則平面的一個法向量為平面

是平面的一個法向量，

,

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.