Question

【題目】設(shè)是數(shù)列1，，，…，的各項(xiàng)和，，.

（1）設(shè)，證明：在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)存在一個(gè)與上述數(shù)列的首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、末項(xiàng)都相同的等差數(shù)列，其各項(xiàng)和為，比較與的大小，并說(shuō)明理由；

（3）給出由公式推導(dǎo)出公式的一種方法如下：在公式中兩邊求導(dǎo)得：，所以成立，請(qǐng)類(lèi)比該方法，利用上述數(shù)列的末項(xiàng)的二項(xiàng)展開(kāi)式證明：時(shí)（其中表示組合數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2），理由見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）依題意可得，求出導(dǎo)函數(shù)說(shuō)明其單調(diào)性，再由等比數(shù)列前項(xiàng)和得，又；

（2）由題意，，設(shè)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得證；

（3）

由二項(xiàng)展開(kāi)式得，

兩邊求導(dǎo)：，

再令，代入可證；

解：（1），

，

由于，故，

因此，在單調(diào)遞增，

又，

，

所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（2）由題意，.

設(shè).

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)

，

所以單調(diào)遞增，，，

當(dāng)時(shí)，，

，

所以單調(diào)遞減，，.

綜上，時(shí)，；

且時(shí)，.

（3）數(shù)列的末項(xiàng)為，

由二項(xiàng)展開(kāi)式得，

兩邊求導(dǎo)：，

取，得，

兩邊乘以，得，

即.