Question

【題目】已知函數，曲線在點，（1）處的切線方程為．

（1）求函數的解析式，并證明：．

（2）已知，且函數與函數的圖象交于，，，兩點，且線段的中點為，，證明：（1）.

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）根據題意，對求導得，利用導數的幾何意義和切線方程求出和，即可求出的解析式，令，利用導數研究函數得單調性和最值得出，即可證明不等式；

（2）結合分析法，把所要證明的問題轉化為證明，設，進而轉化為只需證：，構造函數，利用導數研究函數的單調性，從而可證明出（1）.

解：（1）由題可知，，則，

由于在點，（1）處的切線方程為，

所以（1），即，

即（1），則，解得：，

則．

令，，

令，即，解得：，

則時，，單調遞減；時，，單調遞增，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

，則．

（2）由題可知，，且，

則，，

要證（1）成立，

只需證：，

即證：，即證：，

只需證：，

不妨設，即證：，

要證，只需證：，

令，則，

在上為增函數，

，即成立；

要證，只需證：，

令，則，

在上為減函數，

，即成立．

，成立，

（1）成立．