Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)的值；

（3）若方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，比較與0的大小．

Answer 1

【答案】(1) 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. (2) ,(3)詳見(jiàn)解析

【解析】試題分析: (1)先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn) ,根據(jù)定義域舍去,對(duì)進(jìn)行討論, 時(shí)，，單調(diào)增區(qū)間為．時(shí),有增有減;(2) 函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)必不單調(diào),且最小值小于零 ,轉(zhuǎn)化研究最小值為負(fù)的條件:,由于此函數(shù)單調(diào)遞增,所以只需利用零點(diǎn)存在定理探求即可,即取兩個(gè)相鄰整數(shù)點(diǎn)代入研究即可得的取值范圍,進(jìn)而確定整數(shù)值,（3）根據(jù)，所以只需判定大小,由可解得,代入分析只需比較大小, 設(shè),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得最值,即可判定大小.

試題解析:(1)解： ．

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

當(dāng)時(shí)，由，得；由，得.

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

(2)解：由(1)得，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

則，且的最小值，即.

因?yàn)?/span>，所以.令，顯然在上為增函數(shù)，

且，，所以存在，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以滿足條件的最小正整數(shù)

(3)證明：因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由(1)知.

不妨設(shè)，則，.

兩式相減得，

即．

所以.因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)x∈時(shí)，，

故只要證即可，即證明，

即證明，

即證明.設(shè)．

令，則.

因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，，所以在上是增函數(shù)．

又，所以當(dāng)時(shí)，總成立．所以原題得證