Question

（

2

-x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，則（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²的值為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數的性質

專題：二項式定理

分析：利用賦值法分別令x=1和x=-1，即可求出（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）²的值．

解答： 解：∵（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）²=（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀+a₁+a₃+a₅+…+a₉）[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）]，
∴令x=1，則a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）+（a₁+a₃+a₅+…+a₉）]=（

2

-1）¹⁰，
令x=-1，則a₀-a₁+a₂-…+a₁₀=[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）]=（

2

+1）¹⁰，
∴兩式相乘得：[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+a₅+…+a₉）²]=（

2

+1）¹⁰•（

2

-1）¹⁰=[（

2

）²-1]¹⁰=1¹⁰=1．
∴（a₀+a₂+…+a₁₀）²-（a₁+a₃+…+a₉）²=1．
故答案為：1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，利用賦值法是解決本題的關鍵，是基礎題目．