Question

【題目】對于定義域為的函數，若同時滿足下列條件：

①在內單調遞增或單調遞減；

②存在區間，使在上的值域為；那么把（）叫閉函數.

（1）求閉函數符合條件②的區間；

（2）判斷函數是否為閉函數？并說明理由；

（3）判斷函數是否為閉函數？若是閉函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不是閉函數，理由見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據閉函數的定義解即可；（2）先判斷函數的單調性，再根據閉函數的定義判斷；（3）先假設函數為閉函數，從而得到為方程的兩個實根，從而利用韋達定理與二次函數的圖象與性質求得實數的取值范圍．

試題解析：（1）由題意，在上遞減，則，解得，

所以，所求的區間為．

（2）取，則，即不是上的減函數，

取，即不是上的增函數，

所以函數在定義域內不單調遞增或單調遞減，從而該函數不是閉函數.

（3）若是閉函數，則存在區間，在區間上，函數的值域為，

即，∴為方程的兩個實根，

即方程有兩個不等的實根，

當時，有，解得，當時，有，無解．

綜上所述，.