Question

已知α，β為銳角，且tanα=

2

t

，tanβ=

t

15

，當10tanα+3tanβ取得最小值時，α+β的值為

 

．

Answer 1

分析：先利用基本不等式求出t的值，再利用和角的正切公式，計算tan（α+β），即可求出α+β的值．

解答：解：∵α，β為銳角，且tanα=

2

t

，tanβ=

t

15

，
∴tanα=

2

t

＞0，tanβ=

t

15

＞0，
∴10tanα+3tanβ≥2

30tanαtanβ

=4，
當且僅當10tanα=3tanβ，
即t=10時，10tanα+3tanβ取得最小值4，
∴tanα=

2

t

=

1

5

，tanβ=

t

15

=

2

3

，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

1 5 + 2 3

1- 1 5 • 2 3

=1，
∵α，β為銳角，
∴α+β=

π

4

．
故答案為：

π

4

．

點評：本題考查基本不等式的運用，考查和角的正切公式，考查學生的計算能力，正確運用基本不等式是關鍵．