Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)．
（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值；
（Ⅲ）試證明：.

Answer 1

(1) 在區(qū)間上是減函數(shù)
(2)
(3)在二問的基礎(chǔ)上，進(jìn)行放縮法來證明不等式。

解析試題分析：解：（Ⅰ）由題…………2分
故在區(qū)間上是減函數(shù);…………3分
（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，即在上恒成立，取，則，…………………5分
再取則
故在上單調(diào)遞增，
而，…………………7分
故在上存在唯一實(shí)數(shù)根，
故時，時，
故故…………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，………………10分
又

……………………12分

即：………………14分
考點(diǎn)：本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用。
點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的單調(diào)性，并求解函數(shù)的最值的應(yīng)用個。對于含有參數(shù)的不等式恒成立問題，一般采用分離變量的思想，借助于函數(shù)的最值來得參數(shù)的范圍。對于函數(shù)與不等式的結(jié)合問題，一般運(yùn)用放縮法的思想來求證，屬于難度試題。