Question

【題目】已知函數f（x）= +acosx，g（x）是f（x）的導函數．
（1）若f（x）在 處的切線方程為y= ，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0時取得最小值，求a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，當x＞0時， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x﹣asinx，

f′（ ）= ﹣a= ，

∴a=﹣1，經驗證a=﹣1合題意

（2）解：g（x）=f′（x）=x﹣asinx g′（x）=1﹣acosx

①當a=0時，f（x）= x2，顯然在x=0時取得最小值，

∴a=0合題意；

②當a＞0時，

（i）當 ≥1即0＜a≤1時，g′（x）≥0恒成立，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，又g（0）=0

∴當x＜0時，g（x）＜0 即f′（x）＜0，當x＞0時，g（x）＞0 即f′（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增；

∴f（x） 在x=0時取得最小值

∴當0＜a≤1時合題意；

（ii）當0＜ ＜1即a＞1時，在（0，π）內存在唯一x0=arccos 使g′（x）=0

當x∈（0，x0）時，

∵y=cosx在（0，π）上是單調遞減的，

∴cosx＞cosx0=

∴g′（x）=a （ ﹣cosx）＜0，

∴g（x） 在（0，x0）上單調遞減，

∴g（x）＜g（0）=0

即f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，x0）內單調遞減；

∴x∈（0，x0）時，f（x）＜0 這與f（x）在x=0時取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，

∴當a＞1時不合題意；

綜上，a的取值范圍是0，1]

（3）解：由（1）知，a=﹣1 此時g（x）=x+sinx，g′（x）=1+cosx，

∴ = =|cos |≥cos ，

∴若要證原不等式成立，只需證cos + x2＞ 成立；

由（2）知，當a=1時，f（x）≥f（0）恒成立，即 x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1﹣ x2（當且僅當x=0時取“=“號），

∴cos ≥1﹣ x2（當且僅當x=0時取“=“號） …①

∴只需證：1﹣ x2+ x2＞ 成立，即1+ x2＞ ，

又由均值不等式知：1+ x2≥x（當且僅當x=2時取“=“號） …②

∵①②兩個不等式取“=“的條件不一致，

∴只需證：x≥ ，

兩邊取對數得：lnx≥1﹣ …③

下面證③式成立：令（x）=lnx﹣1+ ，

則′（x）= ﹣ = ，

∴（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增

∴（x）≥（1）=0，

即lnx﹣1+ ≥0，

∴lnx≥1﹣ ，

即③式成立，

∴原不等式成立．

【解析】（1）先求導，根據導數和幾何意義即可求出，（2）先求導，再分類討論，根據導數和函數的最值得關系即可求出參數的取值范圍，（3）原不等式轉化為cos + x2＞ 成立，分別根據均值不等式和導數和函數的最值得關系即可證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用基本求導法則和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．