Question

如圖：在面積為1的DPMN中，tanÐPMN=，tanÐMNP=-2，試建立適當的坐標系，求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程。

Answer 1

【錯解分析】通過建立恰當的直角坐標系，將實際問題轉化成解析幾何問題來求解依題意：
坐標系的選擇是顯然的，（如圖），從而橢圓方程為：，以下所要解決的問題就是怎樣根據題目的條件來確定a、b了（待定系數法）。

【正解】如圖：以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標系。

設以M、N為焦點且過點P的橢圓方程為：(a>b>0)，
焦點為M(-c，0)，N(c，0)(c>0)。由tanÐPMN=，tanÐMNP=-2知：直線MP的斜率為 ，直線PN的斜率為2所以直線MP、NP的方程分別為：和y=2(x-c)將此兩方程聯立解得：，即P點的坐標為。在DMNP中，|MN|=2c，MN邊上的高即為P點的縱坐標
解得，即P點坐標為。再由兩點間距離公式求得：由橢圓的定義可得：。又：故：所求橢圓的方程為：。