Question

【題目】在三棱柱中，⊥底面，，，為線段上一點．

（Ⅰ）若，求與所成角的余弦值；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的大小；

（Ⅲ）若二面角的大小為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）30°；（Ⅲ）1．

【解析】

（Ⅰ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出與所成角的余弦值；

（Ⅱ）設，由，得，從而，求出平面的法向量，由此能求出與平面所成角的大小．

（Ⅲ）求出平面的法向量和平面的法向量，利用同量法能求出當二面角的大小為時，的值．

解：（Ⅰ）三棱柱中，⊥底面，

，，為線段上一點，

以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

設，則，

∵，∴，

∴，，

設與所成角為，

則與所成角的余弦值為：，

（Ⅱ）設，由，

得，

解得：，

∴，

設與平面所成角為，

∵平面的法向量為，

∴，

∴與平面所成角的大小為30°．

（Ⅲ）設，

則，

而，

設平面的法向量，

則，即，

取，得，

平面的法向量，

∵二面角的大小為，

∴，

解得：，

則，即為的中點，

，即，

∴當二面角的大小為時，．