Question

【題目】設.

（1）若，且為函數的一個極值點，求函數的單調遞增區間；

（2）若，且函數的圖象恒在軸下方，其中是自然對數的底數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）求出的導函數，由為函數的一個極值點，則，即可求出參數的值，解得到函數的單調遞增區間.

（2）依題意，，即在上恒成立，

令，利用導數研究函數的單調性、極值，則的極小值需大于零，再次構造函數求出參數的取值范圍.

解：（1），，由題意，所以，所以，令，得或，當時，，當時，，當時，，所以函數的單調遞增區間是和；

（2）依題意，，即在上恒成立，

令，則.

對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為-1，

則兩個零點一正一負，設其中一個零點為，

則，即，

且在上單調遞減，在上單調遞增，

故，即，

令，

則，

當時，，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，又，故，顯然函數在上是關于的單調遞增函數，則，故實數的取值范圍為.