Question

【題目】已知函數．

當時，求函數的單調增區間；

若函數在上是增函數，求實數a的取值范圍；

若，且對任意，，，都有，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

把代入函數解析式，求其導函數，由導函數大于0求函數的單調增區間；

求原函數的導函數，由函數在上是增函數，說明其導函數在上大于等于0恒成立，在導函數中x與恒大于0，只需對恒成立，則a可求；

由知，當時在上是增函數，任取，，且規定，則不等式可轉化為恒成立，引入函數，說明該函數為增函數，則其導函數在上大于等于0恒成立，分離變量后利用基本不等式可求a的最小值．

解：當時，．

則

令，得，即，解得：或．

因為函數的定義域為，

所以函數的單調增區間為．

由函數．

因為函數在上是增函數，

所以對恒成立

即對恒成立．

所以

即實數a的取值范圍是．

因為，由知函數在上是增函數．

因為，，，不妨設，所以

由恒成立，可得，

即恒成立．

令，則在上應是增函數

所以對恒成立．

即對恒成立．

即對恒成立

因為當且僅當即時取等號，

所以．

所以實數a的最小值為．