Question

已知拋物線y²=4x截直線y=2x+b所得的弦長為|AB|=5．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）試在x軸上求一點P，使得△APB的面積為9

5

．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程

y2=4x y=2x+b

可得，4x²+4（b-1）x+b²=0由△＞0有  16（b-1）²-16b²＞0得b的范圍，再由 AB=3

5

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

可求b值；
（2）設P（x₀，0），先求點P（a，0）到AB：2x-y-4=0距離公式，再根據(jù)

1

2

|AB|d=39，可求P得坐標．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）．
聯(lián)立方程組  

y2=4x y=2x+b

，消去y，整理并化簡得  4x²+（4b-4）x+b²=0．
則    

△=(4b-4)2-16b2＞0                 ① x1+x2=1-b                              ② x1x2= b2 4                                    ③

…（2分）
因為  |AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，即|AB|=

(x1-x2)2+(2x1+b-2x2-b)2

，
即|AB|=

5(x1-x2)2

，即|AB|=

5

•

(x1+x2)2-4x1x2

④
將②、③代入④得   |AB|=

5

•

(1-b)2-b2

，即|AB|=

5

•

1-2b

，…（3分）
令  

5

•

1-2b

=5解得  b=-2．…（4分）
當b=-2時，上述不等式①成立．
因此  所求實數(shù)b的值為-2．…（5分）
（2）由（1）知   AB所在的直線方程為2x-y-2=0．
設當點P的坐標為（a，0）（a∈R）時，△APB的面積為9

5

．
此時點P到直線AB的距離為d=

|2a-2|

22+(-1)2

，即d=

|2a-2|

5

．…（7分）
于是△APB的面積為    S=

1

2

•

|2a-2|

5

•5=|a-1|•

5

，…（8分）
令   |a-1|•

5

=9

5

，解得    a=10或-8．
所以  所求的點P的坐標為（10，0）或（-8，0）．…（10分）

點評：本題主要考查了直線與拋物線相交求解弦長，關鍵是根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系表示由AB=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

，這是圓錐曲線的考查的熱點之一．