Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的6個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA₁=12，則球O的體積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積,球內接多面體

專題：球

分析：由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為直角三角形，把三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成四棱柱，則四棱柱的體對角線就是球O的直徑，求出球O的直徑，進而求出球O的半徑，代入球的體積公式求解即可．

解答： 解：由于三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為直角三角形，
把三棱柱ABC-A₁B₁C₁補成四棱柱，
則四棱柱的體對角線就是球O的直徑，
所以球O的半徑=

32+42+52

2

=

13

2

，
則球O的體積是：

4

3

π(

13

2

)3=

2197π

6

．
故答案為：

2197π

6

．

點評：本題主要考查了球的內接多面體，球的體積的求法的運用，考查了學生的空間想象能力和運算能力，屬于中檔題，解答此題的關鍵是求出球O的半徑．