Question

【題目】北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發布會，某公司為了競標配套活動的相關代言，決定對旗下的某商品進行一次評估．該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機，擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定立即對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到x元．公司擬投入 萬作為技改費用，投入（50+2x）萬元作為宣傳費用．試問：當該商品改革后的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．

Answer 1

【答案】
（1）解：設每件定價為t元，

則（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，

整理得t2﹣65t+1000≤025≤t≤40，

∴要滿足條件，每件定價最多為40元

（2）解：由題得當x＞25時： 有解，

即： 有解．

又 =10，

當且僅當x=30＞25時取等號，

∴a≥12．

即改革后銷售量至少達到12萬件，才滿足條件，此時定價為30元/件

【解析】（1）設每件定價為t元，則（8﹣（t﹣25）×0.2）t≥25×8，由二次不等式的解法即可得到；（2）由題得當x＞25時： 有解，由分離參數和基本不等式，可得最值，即可得到a的范圍．
【考點精析】關于本題考查的基本不等式在最值問題中的應用，需要了解用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能得出正確答案．