Question

(本題滿分13分)設函數滿足：都有，且時，取極小值
（1）的解析式；
（2）當時，證明：函數圖象上任意兩點處的切線不可能互相垂直；
（3）設, 當時,求函數的最小值,并指出當取最小值時相應的值.

Answer 1

(1)  
(2) 根據題意可知，由于，設：任意兩數 是函數圖像上兩點的橫坐標，則這兩點處的切線的斜率分別是：，那么可以判定斜率之積不是-1，說明不能垂直
(3) 故當 時,  有最小值

試題分析：解：（）因為，成立，所以：，
由： ，得 ，
由：，得
解之得： 從而，函數解析式為： (4分)
（2）由于，，設：任意兩數 是函數圖像上兩點的橫坐標，則這兩點處的切線的斜率分別是：
又因為：，所以，，得：知：
故，當 是函數圖像上任意兩點處的切線不可能垂直  (8分)
（3）當 時， 且 此時
 
   (11分)
當且僅當：即即，取等號，
所以
故當 時,  有最小值   (13分)
(或)
點評：解決的關鍵是利用導數的符號確定出函數單調性，以及函數的極值，從而比較極值和端點值的函數值得到最值，屬于基礎題。