Question

【題目】

已知橢圓和拋物線有公共焦點F(1,0),的中心和的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線與拋物線分別相交于A,B兩點.

（Ⅰ）寫出拋物線的標準方程；

（Ⅱ）若，求直線的方程；

（Ⅲ）若坐標原點關于直線的對稱點在拋物線上，直線與橢圓有公共點，求橢圓的長軸長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（Ⅰ）由題意，拋物線的方程為：，

（Ⅱ）設直線的方程為：.

聯立，消去，得，

顯然，設，

則①

②

又，所以③

由①②③消去，得，

故直線的方程為或.

（Ⅲ）設，則中點為，因為兩點關于直線對稱，

所以，即，解之得，

將其代入拋物線方程，得：

，所以，.

聯立，消去，得：

.

由，得

，即，

將，代入上式并化簡，得

，所以，即，

因此，橢圓長軸長的最小值為.