Question

（本小題滿分13分）如圖，四面體中，是的中點，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

(Ⅰ) 見解析  (Ⅱ)   （Ⅲ）

（I）證明：．
連接．
，又

即       平面．
（II）方法1 取的中點，的中點，為的中點，或其補角是與所成的角．∴連接是斜邊上的中線，，
．在中，由余弦定理得，∴直線與所成的角為．
（Ⅲ）方法l 平面，過作于，連接,
是在平面上的射影，由三垂線定理得．
是二面角的平面角，，又．
在中，，．
∴二面角為．
（II）方法2建立空間直角坐標系．則
．
．∴直線與所成的角為．
（Ⅲ）方法2在坐標系中，平面的法向量．
設平面的法向量，則，
求得，
∴二面角為．