Question

如圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F
為CE上的點，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；
（Ⅲ）求點D到平面ACE的距離.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.  
∵二面角D—AB—E為直二面角，且，平面ABE.
 
（Ⅱ）連結BD交AC于C，連結FG，

∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，
平面ACE，
（Ⅲ）過點E作交AB于點O. OE=1.
∵二面角D—AB—E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
設D到平面ACE的距離為h， 

平面BCE， 
∴點D到平面ACE的距離為

解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以線段AB的中點為原點O，OE所在直
線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行
于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系
O—xyz，如圖.
面BCE，BE面BCE，，
在的中點，

 設平面AEC的一個法向量為，
則解得
令得是平面AEC的一個法向量.
又平面BAC的一個法向量為，
∴二面角B—AC—E的大小為
（III）∵AD//z軸，AD=2，∴，
∴點D到平面ACE的距離