Question

【題目】給定橢圓＞＞0，稱(chēng)圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個(gè)交點(diǎn)．求證：⊥.

Answer 1

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)由題意分別確定a,b,c的值即可求得橢圓方程和準(zhǔn)圓方程；

(2)分類(lèi)討論直線的斜率存在和直線斜率不存在兩種情況即可證得題中的結(jié)論.

（1）因?yàn)?/span>，所以

所以橢圓的方程為， 準(zhǔn)圓的方程為.

（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（或且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是：(或，

即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為，

則，消去得到，

即，

，

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到：，

因?yàn)?/span>，所以有，

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?/span>與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.