Question

【題目】如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點，，，.

⑴求證：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知為棱上的點，若，求線段的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）證明，，再根據，從而得到線面垂直的證明；

（2）以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函數的基本關系求得正弦值；

（3）結合（2）中，求得點，再求的值，從而求得線段的長度.

（1）在三角形中，且為的中點，

所以.①

在中，,.

連接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因為，③

由①②③，得平面.

（2）以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

所以.

設為平面的法向量，

則有即

令，得所以.

易得，且為平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值為

（3）由（2）知.

設點，則.

又，，

所以，從而

即點.

所以.

所以.