Question

【題目】試證明：集合滿足

（1）對每個及，若，則一定不是的倍數；

（2）對每個（表示在中的補集），且，必存在，，使是的倍數.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）對任意，設.則.

若是任意一個小于的正整數，則.

由于與中，一個為奇數，它不含質因子2，另一個為偶數，它含質因子2的冪的次數最多為，因此，一定不是的倍數.

（2）若，且，設，其中，，為大于1的奇數.

則.

下面給出三種證明方法.

方法1 令，.

消去得.

由，知方程必有整數解

其中，，為方程的特解.

記最小的正整數解為.則.

故，使得是的倍數.

方法2 注意到，，由中國剩余定理，知同余方程組

在區間上有解，即存在，使得是的倍數.

方法3 由，總存在，使得.

取，使得.則.

存在，使得.

此時，.

從而是的倍數.