Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在區間上的最值；

（2）討論函數的單調性；

（3）當時，有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）見解析；

（Ⅲ）（﹣1，0）

【解析】

（1）求出函數在區間上的極值和端點值，比較后可得最值；（2）根據的不同取值進行分類討論，得到導函數的符號后可得函數的單調性；（3）當時，求出函數的最小值為，故問題轉化為當時恒成立，整理得到關于的不等式，解不等式可得所求范圍．

（1）當時，，

∴．

∴當時，單調遞減；當時，單調遞增．

∴當時，函數取得極小值，也為最小值，且最小值為．

又，，

∴．

所以函數在區間上的最小值為，最大值為．

（2）由題意得，．

①當，即時，恒成立，

∴在上單調遞減．

②當時，恒成立，

∴在上單調遞增．

③當時，，

由得，或（舍去），

∴在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上可得，當，在上單調遞增；

當時，在上單調遞減，在單調遞增；

當時，在上單調遞減．

（3）由（2）可得，當時，，

若不等式恒成立，則只需，

即，

整理得，

解得，

∴，

又，

∴．

∴實數的取值范圍為．