Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由平面及底面是正方形可證得平面,則,又由,即可求證；

（2）以為原點,分別以所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,由（1）可知為平面的一個法向量,求得平面的一個法向量,進而利用數量積求解即可

（1）證明:因為平面,平面,

所以,

因為底面是正方形,所以,

又,所以平面,

因為平面,所以,

又因為,平面,

所以平面

（2）因為平面,底面為正方形,

所以,以為原點,分別以所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖所示）,

設,則,

因為,所以為中點,所以,

所以,

由（1）得為平面的一個法向量,

設平面的一個法向量為,

由,即,令,則,所以,

因此,

由圖可知二面角的大小為鈍角,

故二面角的余弦值為