Question

【題目】在三棱錐S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，

（1）求證：BD⊥平面SAC；
（2）求二面角E﹣BD﹣C的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由于SB=BC，且E是SC的中點，因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC⊥BE．

又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，

∴SC⊥面BDE，

∴SC⊥BD．

又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，

∴SA⊥BD．

而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC

（2）解：∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC．

∴∠EDC是所求的二面角的平面角．

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．

設SA=a，則AB=a，BC=SB= a

∵AB⊥BC，∴AC= a，在Rt△SAC中tan∠ACS=

∴∠ACS=30°．

又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

【解析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明先證BD⊥面SAC，（2）根據二面角的平面角的定義得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC與Rt△EDC相似求出∠EDC即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．