Question

【題目】已知向量 =（cos ，sin ）， =（cos ，﹣sin ），函數f（x）= ﹣m| + |+1，x∈[﹣ ， ]，m∈R．
（1）當m=0時，求f（ ）的值；
（2）若f（x）的最小值為﹣1，求實數m的值；
（3）是否存在實數m，使函數g（x）=f（x）+ m2 ， x∈[﹣ ， ]有四個不同的零點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cos ，sin ）（cos ，﹣sin ）=cos cos ﹣sin sin =cos（ + ）=cos2x，

當m=0時，f（x）= +1=cos2x+1，

則f（ ）=cos（2× ）+1=cos +1= ；

（2）解：∵x∈[﹣ ， ]，

∴| + |= = =2cosx，

則f（x）= ﹣m| + |+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，

令t=cosx，則 ≤t≤1，

則y=2t2﹣2mt，對稱軸t= ，

①當 ＜ ，即m＜1時，

當t= 時，函數取得最小值此時最小值y= ﹣m=﹣1，得m= （舍），

②當 ≤ ≤1，即m＜1時，

當t= 時，函數取得最小值此時最小值y=﹣ =﹣1，得m= ，

③當 ＞1，即m＞2時，

當t=1時，函數取得最小值此時最小值y=2﹣2m=﹣1，得m= （舍），

綜上若f（x）的最小值為﹣1，則實數m= ．

（3）解：令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+ m2=0，得cosx= 或 ，

∴方程cosx= 或 在x∈[﹣ ， ]上有四個不同的實根，

則 ，得 ，則 ≤m＜ ，

即實數m的取值范圍是 ≤m＜ ．

【解析】（1）利用向量數量積的公式化簡函數f（x）即可．（2）求出函數f（x）的表達式，利用換元法結合一元二次函數的最值性質進行討論求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函數的性質進行求解即可．