Question

【題目】已知橢圓C： 過點(diǎn)A（2，3），且F（2，0）為其右焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在于行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與l的距離等于 ？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： 過點(diǎn)A（2，3），且F（2，0）為其右焦點(diǎn)，

∴橢圓C的左焦點(diǎn)為F′（﹣2，0），則|AF|=3，|AF′|= =5，

∴ ，即 ，∴b2=16﹣4=12，

∴橢圓C的方程為 =1．

（2）解：設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y= ，

由 ，整理，得3x2+3tx+t2﹣12=0，

∵直線l與橢圓C有公共點(diǎn)，

∴△=（3t）2﹣12（t2﹣12）=﹣3t2+144≥0，

解得﹣4 ，

∵直線OA與l的距離等于 ，∴ = ，故t=±5．

∵±5∈[﹣4 ，4 ]，

∴直線l的方程為y= 或y=

【解析】（1）利用橢圓焦點(diǎn)和橢圓定義，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)存在符合題意的直線l，其方程為y= ，與橢圓聯(lián)立，得3x2+3tx+t2﹣12=0，由此利用根的判別式、點(diǎn)到直線的距離公式，能求出結(jié)果方程．