Question

【題目】已知過點，且與內切，設的圓心的軌跡為，

（1）求軌跡C的方程；

（2）設直線不經過點且與曲線交于點兩點，若直線與直線的斜率之積為，判斷直線是否過定點，若過定點，求出此定點的坐標，若不過定點，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點．

【解析】

（1）由題意結合圓的性質可得，利用橢圓的定義即可得解；

（2）當直線斜率不存在時，求出各點坐標后即可得與軸的交點為；當的斜率存在時，設l的方程為，聯立方程可得，，進而可轉化條件，得出后即可得解.

（1）由題意過點，且與內切，

易知點，半徑為，

設兩圓切點為，

所以，在中，，

所以，所以M的軌跡為橢圓，由橢圓定義可知，

所以，所以軌跡C的方程為；

（2）①當的斜率不存在的時，設，所以，

所以，解得或（舍），

所以與軸的交點為；

②當的斜率存在時，設l的方程為，

聯立消元可得，

，所以，

由韋達定理，，

則

，

又因為，所以，即，

所以，所以成立，

所以，當時，，所以l過，

綜上所述，過定點.