Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，,，,側面底面,且是以為底的等腰三角形.

（Ⅰ）證明：

（Ⅱ）若四棱錐的體積等于.問：是否存在過點的平面分別交，于點，使得平面平面？若存在，求出的面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析: （Ⅰ）取的中,連接 ,由三角形是等腰三角形,則 ,又 ,可得 ,從而證出 ,可得 ; （Ⅱ）取 中點 ,連接 ,可證明四邊形為平行四邊形,進一步證明 ,可得三角形是直角三角形,由三角形面積公式可得面積.

試題解析:（Ⅰ）證明：取的中點，連接，

∵，

∴.

∵且，

∴是正三角形，且，

又∵，平面

∴平面，且平面

∴

（Ⅱ）解：存在，理由如下：

分別取的中點，連接，則；

∵是梯形，且，

∴且，則四邊形為平行四邊形，

∴

又∵平面，平面

∴平面，平面且平面，

∴平面平面

∵側面，且平面平面

由（Ⅰ）知，平面，若四棱錐的體積等于，

則，所以

在和中，

∴，則

∴是直角三角形，則.