Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在點處的切線方程；

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）證明：當時，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）當時，，，故切線為

（2）由題意得：在上恒成立，即恒成立，求的最小值，即可得出答案.

（3）當時，可證明恒成立，變形得：，

又因為，即，故，將替換成，即可得出答案.

解：（1）時，，∴，

∴，，

∴切線方程為.

（2）由題可知在上恒成立，

∴恒成立，

設函數，則，

令得，

當時，當時，

∴在單調遞減，在單調遞增，

∴.

∴，∴的取值范圍是.

（3）首先證明：當時，.

設，則，.

易得：在單調遞減，在單調遞增.

又，，，∴.

所以存在使得.

∴當時，當時，

當時.

∴在，單調遞增，在單調遞減，

∵，∴在都成立，

即時恒成立.

即：，變形得：，

設，，，

∵當時，，

當時，，

∴，

∴，即，

∴，

將替換成得：.