【題目】在坐標平面上，縱橫坐標都是整數的點稱為整點.試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集體的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上.有且只有一個整點.
【答案】見解析
【解析】
假設同心圓圓心為P（x，y）任兩點整點A（a，b）和B（c，d），其中a = c，b = d不同時成立.
.
，
.
∵
，a = c，b = d不同時成立，
∴要使
，只需取x為任意無理數，y取任意分母不為2的非整有理數即可（或x，y各取形如
的最簡非同類根式的無理數，其中
）.
如取
（或
），則任意兩個不同整點到的距離都不相等.
把所有整點到P點的距離從小到大排成一列
，以為圓心，以為半徑作的同心圓集合即為所求.
（注：P點坐標還可其他超越數，如
等等.）
證明三 設坐標平面上任兩個不同整點A（a，b）和B（c，d），分三類情況討論.
（1）
，中點
，AB垂直平分線方程為
；
（2）
，中點
，AB垂直平分線方程為
；
（3）
，中點
，AB垂直平分線方程為
.
顯然，只有在上述三類直線上的點才有可能到平面上某兩整點的距離相等.若取，則必然不在上述三類直線上，則到任意兩個不同整點的距離都不相等.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】國內某汽車品牌一個月內被消費者投訴的次數用
表示，據統計，隨機變量的概率分布如下：
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
|
|
|
|
（1）求
的值；
（2）若每個月被消費者投訴的次數互不影響，求該汽車品牌在五個月內被消費者投訴3次的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點為
，
為
軸上的點.
（1）過點
作直線
與
相切，求切線的方程；
（2）如果存在過點的直線
與拋物線交于
，
兩點，且直線
與
的傾斜角互補，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】生活中萬事萬物都是有關聯的，所有直線中有關聯直線，所有點中也有相關點，現在定義：平面內如果兩點
、
都在函數
的圖像上，而且滿足、兩點關于原點對稱，則稱點對（、）是函數的“相關對稱點對”（注明：點對（、）與（、）看成同一個“相關對稱點對”）.已知函數
，則這個函數的“相關對稱點對”有（ ）
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
（
為參數），點
的極坐標為
，設直線與曲線相交于
兩點．
（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；
（2）求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數，
，
的部分圖象如圖所示，有下列結論：
①函數
的最小正周期為
②函數在
上的值域為
③函數的一條對稱軸是
④函數的圖象關于點
對稱
⑤函數在
上為減函數
其中正確的是______.（填寫所有正確結論的編號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，
，
，D，E分別為BC，PD的中點，F為AB上一點，且
.
（1）求證：
平面PAD；
（2）求證：
平面PAC；
（3）若二面角
為60°，求三棱錐的體積.
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