Question

【題目】已知函數（為常數）.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，設的兩個極值點，（）恰為的零點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為，當時，的單調遞增區間為；（Ⅱ）.

【解析】

試題（1）先求函數導數，討論導函數符號變化規律：當時，導函數不變號，故的單調遞增區間為.當時，導函數符號由正變負，即單調遞增區間為,單調遞減區間減區間為，（2）先求導數得為方程的兩根，再求導數得，因此，而由為的零點，得,兩式相減得,即得，因此，從而，其中根據韋達定理確定自變量范圍：因為

又，所以

試題解析：（1），當時，由解得,即當時，單調遞增， 由解得,即當時，單調遞減,當時，,即在上單調遞增,當時，故，即在上單調遞增,所以當時，的單調遞增區間為,單調遞減區間減區間為，當時，的單調遞增區間為.

（2）,則,所以的兩根即為方程的兩根. 因為,所以,又因為為的零點，所以,兩式相減得,得,而,

所以

令,由得

因為,兩邊同時除以，得，因為，故，解得或，所以，設，所以，則在上是減函數，所以，即的最小值為.