Question

【題目】如圖，在三棱錐A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD． 求證：（Ⅰ）EF∥平面ABC；
（Ⅱ）AD⊥AC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四點共面， 所以AB∥EF，
又因為EF平面ABC，AB平面ABC，
所以由線面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）在線段CD上取點G，連結FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
因為BC⊥BD，所以FG⊥BC，
又因為平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因為AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．

【解析】（Ⅰ）利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結論； （Ⅱ）通過取線段CD上點G，連結FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，利用線面垂直的性質定理可知FG⊥AD，結合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，從而可得結論．
【考點精析】利用空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．