Question

【題目】若橢圓：上有一動點，到橢圓的兩焦點，的距離之和等于，到直線的最大距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點的直線與橢圓交于不同兩點、，（為坐標原點）且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) （－2，）∪（，2）.

【解析】分析：（I）由橢圓的定義及到直線的最大距離為列方程可求得和的值，從而可求得橢圓的方程；（II）設橢圓的方程，代入橢圓的方程，由取得的取值范圍，利用韋達定理及向量的坐標運算求得點坐標，代入橢圓方程，求得，由，即可求得的取值范圍.

詳解：（I）由已知得，∴， ，

所以橢圓的方程為：.

（II）l的斜率必須存在，即設l：，

聯立，消去y整理得，

由得，

設，，由韋達定理得，，

而＋＝，設P（x，y），

∴∴，

而P在橢圓C上，∴，

∴（*），又∵，

，

解之，得，∴，

再將（*）式化為 ，將代入

得，即或，

則t的取值范圍是（－2，）∪（，2）