Question

【題目】已知數列的前項和為，且滿足，，設，.

（Ⅰ）求證：數列是等比數列；

（Ⅱ）若，，求實數的最小值；

（Ⅲ）當時，給出一個新數列，其中，設這個新數列的前項和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數型和”.問中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）為指數型和.

【解析】

（I）通過計算證明證得，來證得數列是等比數列.

（II）利用求得數列的通項公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通項公式，對分成偶數和奇數兩種情況進行分類討論，根據“指數型和”的定義，求出符合題意的“指數型和”.

（I），.由于，當時，，所以數列是等比數列.，.

（II）由（I）得，，所以.因為，.當時，

，，而，所以，即，化簡得，由于當時，單調遞減，最大值為，所以

，又，所以的最小值為.

（III）由（I）當時，，當時，.也符合上式，所以對正整數都有.由，（且），只能是不小于的奇數.

①當為偶數時，，由于和都是大于的正整數，所以存在正整數，使得，，所以，且，相應的，即有，為“指數型和”；

② 當為奇數時，，由于是個奇數之和，仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，此時沒“指數型和”.

綜上所述，中的項存在“指數型和”，為.