Question

19、已知集合P={x|（x-1）²＞16}，Q={x|x²+（a-8）x-8a≤0}．
（1）求a的一個值，使它成為P∩Q={x|5＜x≤8}的一個充分不必要條件；
（2）求a的取值范圍，使它成為P∩Q={x|5＜x≤8}的充要條件；
（3）求P∩Q．

Answer 1

分析：（1）先將集合P，Q化簡，從而轉化為當a取區間[-5，3]內的任一個值時，P∩Q={x|5＜x≤8}的一個充分不必要條件；
（2）由（1）知，當a取值范圍是區間[-5，3]時，就是P∩Q={x|5＜x≤8}的充要條件；
（3）分類討論即可．

解答：解：（1）由已知得P={x|x＜-3，或x＞5}，畫數軸可知，當a∈[-5，3]，Q={x|-a≤x≤8}，滿足P∩Q={x|5＜x≤8}，
．當a取區間[-5，3]內的任一個值，如a=3就是P∩Q={x|5＜x≤8}的一個充分不必要條件；---------------（6分）
（2）當a取值范圍是區間[-5，3]時，就是P∩Q={x|5＜x≤8}的充要條件…-…（10分）
（3）①當a＞3時，解為[-a，-3）∪（5，8]
②當-5≤a≤3時，解為（5，8]
③當-8≤a＜-5時，解為[-a，8]
④當a＜-8時，解為[8，-a]…（14分）

點評：本題主要考查四種條件的研究，解決集合問題應主要結合數軸．