Question

【題目】已知函數的最小值為0，其中.

（1）求的值；

（2）若對任意的，有恒成立，求實數的最小值；

（3）記，為不超過的最大整數，求的值.

（參考數據：，，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）首先求導，求出函數的單調區間，根據單調區間得到最小值，即可得到的值.

（2）當時，易證不合題意，當時，令，，令，可得，.分類討論和時的單調性和最值即可得到實數的最小值.

（3）當時，，.當時，，取，得，從而得到，所以.又因為

，得到，即可得到.

（1），

令，得，

在單調遞減，單調遞增，

，所以.

（2）當時，取，有，故不合題意.

當時，令，

求導函數可得，

令，可得，.

①當時，，

所以，恒成立，

因此在上單調遞減，

從而對任意的，總有，

即對任意的，有成立，故符合題意；

②當時，，

對于，，因此在內單調遞增，

從而當時，，

即有不成立，故不合題意.綜上，

的最小值為.

（3）當時，，.

當時，

由（2）知，取，得，

從而，

所以

.

又，

所以.

令，則，設，

，

所以在單調遞增，則，

所以單調遞增，即，又，

所以，

所以.