Question

【題目】已知函數（）.

（1）若恒成立，求a的取值范圍；

（2）若，證明：在有唯一的極值點x，且.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）計算得到，再證明當（）時，，先證明（），討論和兩種情況，計算得到證明.

（2）求導得到，，得到存在唯一實數，使，存在唯一實數，使，得到，得到證明.

（1）由，得，即，解得，，

以下證明，當（）時，.

為此先證：（）.

若，則；

若，則.

令（），可知，函數單調遞增，

故，即（），

綜上所述：（）.

若（），則當時，，

故，即；

當時，，由（），

得.

故當（）時，.

綜上，所求a的取值范圍是.

（2），令，

，∵，∴是上的增函數，

又，，

故存在唯一實數，使，當時，，遞減；當時，，遞增.

又，則，，，

∴，，.

故存在唯一實數，使.

當時，，遞減；

當時，，遞增.

所以在區間有唯一極小值點，且極小值為.

又由，得，

∴.

又.

以下只需證明，即證，.

∵，∴.

則，所以.