【題目】已知函數
.
（1）當
時，討論函數
的單調性；
（2）討論函數的零點個數.
【答案】（1）
在
上單調遞減，在
上單調遞增（2）當
時，無零點；當
時，只有一個零點；當
時，有兩個零點
【解析】
（1）當時，
，令
，
，則可得到函數
的單調性，進一步得到函數
，則可得函數的單調區間.
（2）由題意有
，當
時，顯然無零點，當
時，即
的根的個數，即即
，設
，求出
的導數，分析出的單調性，從而得出函數的零點的情況.
解：（1）函數的定義域為
，
當時，
設，
，則
令
，則
，令
，則
，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為
，所以
，即
.
令
，則，令
，則，
因此在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）函數的零點個數，即
的根的個數.
當時，
在上恒有
成立，所以無零點.
當時， 
，即
即，設
設
，
由
，可得，
，可得
所以
在
上單調遞減，在
上單調遞增，所以
所以當時，
，當時，
在上單調遞減，在上單調遞增.
又當
時，
，所以
，
，則
即當時，
.
又設
，則
.
令
，得，
，得.
所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，則
.
所以
由洛必達法則有
所以當
時，，大致圖象如圖.
(或者由冪函數，指數函數
，對數函數
中，當時，指數函數的變化速度比冪函數和對數函數快得多，也可以說明以當時，)
當
，即
時，方程無實數根，即函數無零點.
當
，即時，方程有1個實數根，即函數有1個零點.
當
，即
時，方程無實數根，即函數無零點.
當
，即時，方程有2個實數根，即函數有2個零點.
綜上，當時，無零點；
當時，只有一個零點；
當時，有兩個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知函數
的定義域是
，對任意的
，有
.當
時，
.給出下列四個關于函數的命題：
①函數是奇函數；
②函數是周期函數；
③函數的全部零點為
，
；
④當算
時，函數
的圖象與函數的圖象有且只有4個公共點.
其中，真命題的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠包裝白糖的生產線，正常情況下生產出來的白糖質量服從正態分布
（單位：
）.
（Ⅰ）求正常情況下，任意抽取一包白糖，質量小于
的概率約為多少？
（Ⅱ）該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖，稱得其質量均小于，檢測員根據抽檢結果，判斷出該生產線出現異常，要求立即停產檢修，檢測員的判斷是否合理？請說明理巾.
附：
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知曲線
的參數方程為
（
為參數）.以直角坐標系的原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和的直角坐標方程；
（2）若過點
的直線
與交于
，
兩點，與交于
，
兩點，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小值為0，其中
.
（1）求
的值；
（2）若對任意的
，有
恒成立，求實數
的最小值；
（3）記
，
為不超過
的最大整數，求
的值.
（參考數據：
，
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列
的前
項和為
，滿足
.
（1）求證：數列等差數列；
（2）當
時，記
，是否存在正整數
、
，使得
、
、
成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的數對
；若不存在，請說明理由；
（3）若數列
、
、
、
、
、
是公比為
的等比數列，求最小正整數
，使得當
時，
.
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